terugpijl-zwart

stempel-techniek-def

‘Nationale Wiskunde Dagen’

Wat doen 650 wiskundigen samen op een congres?

Kunt U zich voorstellen dat er elk jaar begin februari 600 á 700 wiskunde leraren met groot enthousiasme twee dagen (een vrijdag en een zaterdag) bijeen komen om veel lezingen over wiskunde en veel workshops met wiskundig getinte problemen bij te wonen? Wat zitten ze daar te doen? Is dat die abstracte wiskunde met cijfers en letters waar zoveel anderen op school moeite mee hadden? Of gaan ze met ingewikkelde meetkundige figuren allerlei eigenschappen afleiden? Aangezien bij de inschrijving de laatste jaren blijkt dat de honderden plaatsen binnen enkele uren vol zijn en er dus geloot moet worden wie er heen mag, moet het toch wel iets bijzonders zijn.

Pile-nwd-1

pile-nwd-3-zeepbel

vlak-petrol-676-768

 
In 1995 was de eerste NWD, Nationale Wiskunde Dagen. Een samenwerkingsverband van het Freudenthal Instituut (Universiteit Utrecht), de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren en het Centrum voor Onderwijs en Leren onder auspiciën van Platform Wiskunde Nederland besloot tot dit nieuwe idee. De bedoeling is om het immens grote toepassingsgebied van de wiskunde te laten belichten door kenners van allerlei vakgebieden waar wiskunde toegepast wordt.
Diverse thema’s bieden een rijk palet aan onderwerpen die de docenten inspiratie geven voor de dagelijkse praktijk. Laten we eens wat voorbeelden in het kort uiteen zetten.
 
1) Zeepvliezen.
Veel kunstenaars gebruiken wiskundige eigenschappen om bijzondere kunstwerken te maken. Ook architecten gebruiken wiskunde om fraaie gebouwen te ontwerpen. Meetkundige kennis is nodig om vlakvullingen en symmetrieën te begrijpen. Als gek voorbeeld noem ik nu het gebruik maken van zeepvliezen in de architectuur. Hoe zit dat dan? Het blijkt dat zeepvliezen sterk zijn als ze een zo klein mogelijk oppervlak hebben. Ze trekken als het ware zo samen dat hun oppervlakte minimaal is in de ruimte die ze beschikbaar hebben. Als je glazen in een sopje gaat wassen en een glas uit het sop trekt dan zie je allemaal zeepbellen. Eerst trekken ze nog even samen, maar ten slotte komt er een soort evenwicht en dan zie je dat de zeepvliezen die bij elkaar komen vaste hoeken met elkaar maken. Architecten gebruiken soms zeepvliezen om bij een bepaalde bouwconstructie te kijken hoe je kunt zorgen dat de krachten die daar werken zo gunstig mogelijk zijn. Leuk om te proberen zijn ook de volgende proeven. Neem een ijzerdraad in de vorm van een gesloten kromme met een steel om vast te houden. Wikkel een touwtje losjes aan twee kanten om de draad en dompel die dan rustig in een bak met een scheutje afwas zeep (niet roeren want dan krijg je veel schuim). Als je het geheel voorzichtig uit het water trekt dan krijg je een zeepvlies in de gesloten ijzerdraad kromme waar het draadje slingerend in zit. Prik nu met een droog stokje (eventueel een vinger) aan één kant van het touwtje het vlies door en kijk wat je ziet. Welke vorm behoort dus bij de grootste oppervlakte van een stukje draad met een bepaalde lengte? Ook kan je met een bellenblaas setje op een glazen plaat een bel blazen (eventueel met een nat gemaakt rietje groter blazen). Met een ander glazen plaatje (die ietsje nat gemaakt is) ga je nu heel voorzichtig de bel bovenop aanraken en als je het voorzichtig genoeg gedaan hebt zie je iets heel wonderlijks. Door daarna het nieuwe plaatje voorzichtig omhoog te trekken zal op een bepaald moment ineens de zeepbel weer tevoorschijn komen. Ja hoe dat zit en wanneer dat gebeurt moeten de heren en dames wiskundigen dan gaan uitrekenen.

balk-rb-technisch-wonder

achtergr-plaatje-wiskunde

stempel-techniek-def

stempel-techniek-def

vlak-petrol-512-768

2) Tijd en tijdsbepaling.
De aarde draait om zijn as en beweegt in een baan om de zon. Het licht van de zon zorgt voor schaduwen van paaltjes die van lengte en richting veranderen. Hierdoor is men op het idee gekomen om tijd te meten met zonnewijzers. Hoe werken die en hoe is het verband tussen de zonnewijzer-tijd en de horloge-tijd? Zodra je de finesses van de zonnewijzer uitgelegd krijgt ben je blij met een goed lopend horloge. Kleine zakformaat zonnewijzers hebben draadjes waarop een knoopje zit. Op het open geklapte deksel staan kromme lijnen waarop de schaduw van de knoop te zien is. Die kromme lijntjes zijn er, omdat de schaduw van zo’n punt soms een deel van een hyperbool-kromme doorloopt. Het is natuurlijk ook niet eenvoudig die tijdsmeting. Ga maar na dat de aarde in 24 uur 360° draait en dus in 1 uur 15°. Je kunt ‘t natuurlijk omdraaien en zeggen dat de zon per uur 15° verder gaat. Die zon is bepalend voor ons tijdsgevoel en daarom had vroeger, heel lang geleden, iedere plaats zijn eigen tijd. Zeg maar dat men vond dat om 12 uur de zon zijn hoogste stand ter plaatse had. Tegenwoordig noemen we die tijd “Ware Lokale Zonnetijd”. Als je bij voorbeeld 100 km. naar het oosten reist dan moest je in de oude tijd met een hele andere tijd rekening houden. Dan komt er nog een probleem bij, omdat die zon niet met constante snelheid beweegt. Men heeft toen de “Middelbare Zonnetijd” ingevoerd, die uitgaat van een zon die wel met constante snelheid om de aarde beweegt. Het verschil tussen die Middelbare en de Ware zonnetijd heet tijdsvereffening. Om praktische redenen is de aarde in 24 tijdszones van 15° ingedeeld, waarbij in Greenwich (Engeland) de 0 meridiaan gelegen is. Eigenlijk is er om de 15° oostwaarts een meridiaan waar de klok één uur later gezet moet worden. Maar landen willen natuurlijk niet graag tijdsverschil binnen hun landsgrenzen. Daarom is hier en daar een bochtje gemaakt bij de indeling. Het is wel grappig dat als je de tijdszones naar het oosten volgt je telkens 1 uur later op de klok bent, maar als je naar het westen gaat moet je juist rekenen met 1 uur vroeger bij iedere volgende tijdszone. Dat loopt natuurlijk helemaal mis als je de aarde rond bent! Ga maar eens na!

balk-reageer-PFS

stempel-techniek-def

stempel-techniek-def

pil-nwd-muziek-schaats

Sangaku boek

vlak-petrol-512-768

De maan draait om de aarde maar wordt door de Zon beschenen. In verschillende standen van de maan bij de draaiing om de aarde zien we de maanschijf meer of minder verlicht. Als de maan een kwart van de baan doorlopen heeft spreken we van eerste kwartier, maar dan zou je kunnen denken dat de schijf voor een kwart verlicht is. Dat is natuurlijk niet zo. Tijdens één van de congressen hebben de docenten bij een opstelling van een verlichte bol (de maan) moeten meten hoe ver de maan om de aarde gedraaid moet zijn als die maanschijf voor een kwart verlicht is. Uiteraard hoort er dan ook een berekening over de juistheid van het waargenomen vermoeden te komen. Probeer het maar eens.
 
3) Muziek.
Als je op een piano een toets aanslaat dan ontstaat een toon waarvan de boventonen te vinden zijn via een grafiek van een logaritmische functie. Dat is niet eenvoudig in te zien maar heeft te maken met de definitie van een octaaf. Als de frequentie van een toon twee maal zo groot is als de frequentie van een andere toon zegt men dat de twee tonen samen een octaaf vormen. Muziek liefhebbers weten dat twee van zulke tonen erg goed bij elkaar passen en zelfs moeilijk van elkaar te onderscheiden zijn. Bij een piano wordt het octaaf in twaalf evenredige delen verdeeld. De verhouding van de frequenties van twee opvolgende toetsen is telkens gelijk. Aangezien de logaritme van een breuk gelijk is aan de logaritme van de teller min de logaritme van de noemer wordt de genoemde verhouding een verschil, waar eenvoudiger mee is te werken. Kiezen we als grondtal van de logaritme 2 dan geeft het octaaf een verschil van precies 1 zodat 2 tonen die een octaaf verschillen op zo’n logaritmische schaal precies 1 lengte eenheid van elkaar verwijderd liggen. Je maakt nu een merkwaardige grafiek waarbij de Y-as de piano toetsen aangeeft en de X-as de frequentie-verhoudingen. De boventonen van een grondtoon haal je dus te voorschijn met behulp van de grafiek van een 2-logaritme.
Toonhoogte heeft te maken met sinusgrafiekjes. Ook de goniometrische functies krijgen in de muziek een praktische toepassing.

achtergr-plaatje-wiskunde

stempel-techniek-def

stempel-techniek-def

Pile-nwd2-sangaku

vlak-petrol-512-768

vlak-petrol-512-768

4) Schaatsers.
Schaatsers winnen wedstrijden op delen van microseconden. Daarmee wordt de start ook belangrijk in microseconden. Hoe zorg je ervoor dat alle schaatsers aan het begin van de wedstrijd op precies hetzelfde moment het startschot horen. Als je dichterbij staat hoor je het immers eerder dan iemand die ver weg staat. Wiskundigen deden onderzoek en vertellen.
 
5) Geschiedenis van de wiskunde.
In de Edo-periode van 1603 tot 1867 werden in Japanse tempels en Shinto-kapellen houten panelen met meetkundige tekeningen opgehangen, mogelijk als offers aan de Goden of als uitdagingen aan de bezoekers. De meetkundige figuren hadden prachtige kleuren en vormen. Bijzonder was echter dat ze een boodschap doorgaven zonder enige tekst erbij. Deze mooie oude vorm van wiskunde kwam pas laat naar het westen toe. De figuren heten Sangaku’s. Tegenwoordig zijn ze een manier om leerlingen beter te leren kijken naar figuren. In een sangaku moet je zelf zien wat er gegeven is en wat je moet bewijzen omdat er geen tekst bij staat.
 
6) Puzzels en games.
De meeste mensen doen in hun vrije tijd wel iets aan puzzelen of spelen spelletjes met dobbelstenen, kaarten,dominostenen of lucifers of doen games met bij voorbeeld de computer. Heel vaak kan met een juiste strategie succes geboekt worden. Achter die strategie zit vaak een wiskundige redenering die aan te leren is. Voorbeelden zijn er genoeg. Zet op een schaakbord een pion in een hoek. Die mag alleen evenwijdig met de zijkanten van het bord verplaatst worden en niet terug. Dus als de pion links bovenaan staat in het begin mag de pion naar rechts of naar beneden verschoven worden. Om de beurt mogen twee spelers één zet doen waarbij ze zelf mogen beslissen in welke van de twee richtingen en hoeveel hokjes ze de pion verschuiven. Doel is het hoekpunt schuin tegenover het beginpunt te bereiken en je kunt bij voorbeeld afspreken dat degene die daar als eerste aankomt verloren heeft. Het is te beredeneren hoe je moet spelen om te winnen. Ook kan je met een aantal uitgezochte stukjes karton gevraagd worden een vierkant te leggen. Het bewijs van de beroemde stelling van Pythagoras kan men bewijzen door vierkantjes die op de rechthoekszijden passen handig te knippen en de stukken te leggen op het vierkant dat op de schuine zijde van de rechthoekige driehoek past.

stempel-techniek-def

stempel-techniek-def

nwd-foto-torens-hj

vlak-petrol-512-768

7) Schuiven, plakken en knippen.
Meetkundige problemen aanpakken na eerst met latjes te schuiven of papier te vouwen of via knippen en schuiven iets op te bouwen. Door het werken met allerlei materialen kan je leren hoe je praktische problemen moet aanpakken. Bij voorbeeld de wiskunde in het werk van een landschapsarchitect: Hij moet berekenen op welke plek van de weg een fietser tussen twee torenklokken door kan kijken. Dit is de docenten voorgezet met een doos en een nagemaakte kaart van een dorp met twee kerktorens. Langs het dorp loopt een fietspad hetgeen een gleuf is in de doos en waarin je met twee stokjes de hoek kan meten waaronder je de twee torens vanaf het fietspad ziet.
Al spelend ziet men bij het bewegen van de stokjes langs het pad dat de stokjes eerst een tijd uit elkaar gaan en dus een grotere hoek met elkaar maken en dan weer dichter naar elkaar toe gaan zodat de hoek waaronder je vanaf het fietspad de twee torens ziet eerst toeneemt en dan weer afneemt. Praktisch kan je zo bepalen waar de hoek zo groot mogelijk is. Met wiskundige kennis kan je dit natuurlijk berekenen via stellingen over hoeken. Je moet toe naar cirkels die door de twee torens gaan en door de plaats van de fiets. Het blijkt verder dat het mooie GeoGebra programma dat tegenwoordig op scholen gebruikt kan worden ook hier tot een oplossing kan leiden.
 
8) Eerlijk delen.
In professionele bridge wedstrijden worden de kaarten niet geschud, maar met een wiskundig programma wordt de kaartverdeling vastgelegd. Fascinerend is het om te zien hoe wordt geprobeerd het bridgen eerlijk te maken en niet over te laten aan de willekeur en dus het geluk bij de kaartverdeling.
 
9) Schilderkunst.
Is die Rembrandt echt of een vervalsing? In Delft is een programma ontwikkeld dat onderzoek doet naar de eigenschappen van een schilderwerk en dat veel nauwkeuriger dan de specialisten kan bepalen of het schilderij dezelfde eigenschappen heeft als andere werken van de kunstenaar. Gezien de opbrengsten van schilderijen is dit een onmisbare uitvinding.

stempel-techniek-def

vlak-petrol-512-768

1-vd-kopjes-om

een leuk testje:
Het Kopjesprobleem

 
Zet drie kopjes voor je op tafel en draai het middelste ondersteboven.
Je mag iedere keer twee kopjes omdraaien, die hoeven niet naast elkaar te staan. Je kunt alle drie de kopjes ondersteboven krijgen door één keer te draaien. Kun je het ook in drie keer?
 
Zet nu de driekopjes zo dat er twee op hun kop staan en het derde kopje staat goed. De opdracht is nu om in een aantal zetten (waarbij je dus iedere keer twee kopjes omdraait) alle drie de kopjes op hun kop op tafel te krijgen.

2-kopjes-om

vlak-petrol-512-768

vlak-petrol-512-768

10) Vouwen en inpakken.
Meerdere deskundigen hebben in het verleden laten zien dat het simpelweg vouwen van papieren belangrijke wiskundige ontdekkingen oplevert. Je kunt natuurlijk een ruit of een trapezium of een vlieger vouwen, maar moeilijker gaat het worden als je een doosje wilt maken of nog lastiger als je een rond voorwerp moet inpakken met zo weinig mogelijk papier. Een producent wil zo goedkoop mogelijk met grondstoffen werken, waardoor deze berekening hoofdzaak is. De NWD docenten vouwen en redeneren druk met elkaar als ze deze processen nabootsen. Er wordt vaak gelachen om resultaten of vreemde ontdekkingen.
 
11) Kunst en wiskunde.
Interessant is het om te zien en te horen dat wiskunde ook vaak gebruikt wordt door kunstenaars. Wiskundigen hebben al vele jaren geleden zogenaamde magische vierkanten gemaakt. Dat zijn in hokjes verdeelde vierkanten waar getallen zo in staan dat de som van de getallen in de rijen en kolommen gelijk zijn. Als je die getallen met het tweetallig stelsel schrijft (zoals Gerard Traarbach dat deed) dan komen er nullen en enen in de hokjes. Door nu zo’n vakje weer in kleinere stukjes te verdelen en daar die nullen en enen met twee verschillende kleuren in aan te geven ontstaat uiteindelijk een fraai en bijzonder kleurenpatroon. Het tekenen met perspectief is vaak nodig maar de noodzaak om het te doen moet met wiskunde verklaard worden. Koos Verhoef werkte met sculpturen waarbij b.v. gesloten kringen te zien waren bestaande uit 6 of meer kubusjes. Hoe moet dat en hoeveel mogelijkheden zijn er. Genoeg wiskundige uitdagingen zijn erbij te vinden. Maurits Escher maakte vele etsen met wonderlijke figuren of misleidende voorstellingen zoals een waterval waarbij het water almaar doorloopt. Banden van Möbius geven ook aanleiding tot mooie kunstwerken. In oude Japanse tempels hingen mooie meetkundige tekeningen zonder woorden. Deze zogenaamde sangaku’s waren offers aan de Goden en uitdagingen voor de bezoekers daar ze een meetkundige stelling uitbeelden. Je moest zowel datgene wat je als gegeven mag beschouwen als datgene wat je bewijzen moet zelf uit de fraaie tekeningen halen. Dit onderdeel van de meetkunde is ook voor leerlingen op de middelbare school nuttig om je te bekwamen in het bewijzen van meetkundige zaken.

stempel-techniek-def

stempel-techniek-def

stempel-techniek-def

nwd-foto-zeepbel

vlak-petrol-512-768

vlak-petrol-512-768

Conclusie.
In de 11 voorbeelden zien we hoeveel de wiskunde terug komt in het dagelijks leven. Het succes van de twee daagse conferentie zit hem dan ook in de speelse wijze waarop de 650 wiskundeleraren hiermee bezig zijn. De verbinding tussen de wiskunde die ze aan hun leerlingen leren en de maatschappij om hen heen wordt gelegd. Ze krijgen nieuwe ideeën aangereikt voor hun lessen. De leraren raken extra gemotiveerd om de dingen die ze gezien en gehoord hebben in de klas door te geven of uit te proberen. Het onderwijs verbetert op leuke wijze en op zinnige wijze.
 
Daarnaast is het ook nodig dat de wiskundeles verandert, omdat de wereld verandert. Door de snel toenemende techniek zullen in de toekomst heel veel van de dingen die nu door mensen worden uitgevoerd, overgenomen worden door robots en handige apparaten. Dit moet de mens aanleren van jongs af aan. Ik ben dan ook van mening dat dit betekent dat het onderwijs de kinderen niet alleen de techniek, maar ook het proces moet leren, zodat ze ook met minder bekende situaties om kunnen gaan. Ze moeten samenwerkend in groepjes ontdekken hoe ze problemen kunnen oplossen. Voorop staat dan om met elkaar te beslissen met welke methode of welk apparaat of welke robot het probleem opgelost kan worden. Dat is een totaal andere benadering dan wij vroeger in het onderwijs kregen.
Uiteraard moeten leerlingen ook de basisvaardigheden onder de knie krijgen beginnend bij rekenen, maar via tal van voorbeelden -zoals op de NWD te zien zijn- kan gezorgd worden dat leerlingen gestimuleerd worden een onderzoekende houding aan te nemen. Zo leren ze hoe je voor een niet eerder bekend praktisch probleem een theoretische oplossing kunt vinden.
 
 
Hans van Lint
wiskundeleraar
Zwolle

balk-rb-technisch-wonder

schrijver: Hans van Lint
films: JIPfilm

www.jipfilm.nl